Calcul du volume

Voir également: Formes tridimensionnelles

Cette page explique comment calculer le volume des objets solides, c'est-à-dire combien vous pourriez tenir dans un objet si, par exemple, vous le remplissiez d'un liquide.

Zone est la mesure de l'espace qu'il y a dans un objet bidimensionnel (voir notre page: Calcul de la surface pour plus).

Le volume est la mesure de l'espace qu'il y a dans un objet tridimensionnel. Notre page sur formes tridimensionnelles explique les bases de ces formes.



Dans le monde réel, le calcul du volume n'est probablement pas quelque chose que vous utiliserez aussi souvent que le calcul de la surface.

Cependant, cela peut encore être important. Être capable de calculer le volume vous permettra, par exemple, de déterminer l'espace d'emballage dont vous disposez lorsque vous déménagez, l'espace de bureau dont vous avez besoin ou la quantité de confiture que vous pouvez insérer dans un pot.

Cela peut également être utile pour comprendre ce que veulent dire les médias lorsqu'ils parlent de la capacité d'un barrage ou du débit d'une rivière.

Calcul de la surface et du volume. La superficie est mesurée en unités au carré, combien de carrés tiendront dans un plat (espace bidimensionnel)? Le volume est mesuré en unités cubes, combien de cubes tiendront dans un objet solide (tridimensionnel)?

Une note sur les unités

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L'aire est exprimée en unités carrées, car il s'agit de deux mesures multipliées ensemble.

Le volume est exprimé en unités cubiques, car il est la somme de trois mesures (longueur, largeur et profondeur) multipliées ensemble. Les unités cubiques comprennent cm3, m3et pieds cubes.

ATTENTION!

Le volume peut également être exprimé en capacité liquide.

Système métrique

Dans le système métrique, la capacité de liquide est mesurée en litres, ce qui est directement comparable à la mesure cubique, car 1 ml = 1 cm3. 1 litre = 1000 ml = 1000 cm3.

Système impérial / anglais

Dans le système impérial / anglais, les mesures équivalentes sont les onces liquides, les pintes, les quarts et les gallons, qui ne sont pas facilement traduits en pieds cubes. Il est donc préférable de s'en tenir aux unités de volume liquide ou solide.

Pour en savoir plus, consultez notre page sur Systèmes de mesure


Formules de base pour le calcul du volume

Volume de solides à base de rectangle

Aire = Largeur x Longueur. Volume = Largeur x Longueur x Hauteur.

Alors que la formule de base pour l'aire d'une forme rectangulaire est la longueur × largeur, la formule de base du volume est la longueur × largeur × la taille.



La façon dont vous faites référence aux différentes dimensions ne change pas le calcul: vous pouvez, par exemple, utiliser «profondeur» au lieu de «hauteur». L'important est que les trois dimensions se multiplient. Vous pouvez multiplier dans l'ordre de votre choix car cela ne changera pas la réponse (voir notre page sur multiplication pour plus).

Une boîte aux dimensions 15 cm de largeur, 25 cm de longueur et 5 cm de hauteur a un volume de:
15 × 25 × 5 = 1875 cm3

Volume des prismes et des cylindres

Cette formule de base peut être étendue pour couvrir le volume de cylindres et prismes trop. Au lieu d'une extrémité rectangulaire, vous avez simplement une autre forme: un cercle pour les cylindres, un triangle, un hexagone ou, en fait, tout autre polygone pour un prisme.

En effet, pour les cylindres et les prismes, le volume est l'aire d'un côté multipliée par la profondeur ou la hauteur de la forme.



La formule de base du volume des prismes et des cylindres est donc:

Aire de la forme d'extrémité × hauteur / profondeur du prisme / cylindre.


Volume des cônes et des pyramides

Le même principe que ci-dessus (largeur × longueur × hauteur) vaut pour le calcul du volume d'un cône ou d'une pyramide sauf que, parce qu'ils arrivent à un point, le volume n'est qu'une proportion du total qu'il serait s'ils continuaient en la même forme à travers.

Le volume d'un cône ou d'une pyramide est exactement le tiers de ce qu'il serait pour une boîte ou un cylindre avec la même base.



La formule est donc:

Aire de la forme de base ou d'extrémité × hauteur du cône / pyramide ×1/3

Reportez-vous à notre page Calcul de la surface si vous ne vous souvenez pas comment calculer l'aire d'un cercle ou d'un triangle.

Par exemple, pour calculer le volume d'un cône d'un rayon de 5 cm et d'une hauteur de 10 cm:

L'aire à l'intérieur d'un cercle = πr2 (où π (pi) est d'environ 3,14 et r est le rayon du cercle).

Dans cet exemple, aire de base (cercle) = πrdeux= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cmdeux.

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 cm3

Calculez le volume d

Volume d'une sphère

Comme pour un cercle, vous avez besoin de π (pi) pour calculer le volume d'une sphère.



La formule est 4/3 × π × rayon3.

Vous vous demandez peut-être comment calculer le rayon d'une balle. À moins d'y passer une aiguille à tricoter (efficace, mais terminal pour le ballon!), Il existe un moyen plus simple.

Vous pouvez mesurer directement la distance autour du point le plus large de la sphère, par exemple avec un ruban à mesurer. Ce cercle est la circonférence et a le même rayon que la sphère elle-même.

La circonférence d'un cercle est calculée comme 2 x π x rayon.

Pour calculer le rayon à partir de la circonférence vous:

Divisez la circonférence par (2 x π) .


Exemples travaillés: calcul du volume


Exemple 1

Cylindre d
Calculez le volume d'un cylindre d'une longueur de 20 cm et dont l'extrémité circulaire a un rayon de 2,5 cm.

Tout d'abord, calculez la surface de l'une des extrémités circulaires du cylindre.

L'aire d'un cercle est πrdeux(Pi × rayon × rayon). π (pi) est d'environ 3,14.

L'aire d'une extrémité est donc:

3,14 x 2,5 x 2,5 = 19,63 cmdeux

Le le volume est l'aire d'une extrémité multipliée par la longueur, et est donc:

19,63 cmdeuxx 20 cm = 392,70 cm3




Sphère d

Exemple 2

Quelle est la plus grande en volume, une sphère de rayon 2cm ou une pyramide avec base carrée de 2,5cm et hauteur de 10cm?

Tout d'abord, calculez le volume de la sphère .

Le volume d'une sphère est de 4/3 × π × rayon3.

Le volume de la sphère est donc:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 cm3

Puis calculez le volume de la pyramide .

Le volume d'une pyramide est 1/3 × surface de la base × hauteur.

Aire de la base = longueur × largeur = 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 cmdeux

Le volume est donc 1/3 x 6,25 × 10 = 20,83 cm3

La sphère est donc plus grande en volume que la pyramide.



Calcul du volume de solides irréguliers

Tout comme vous pouvez calculer l'aire de formes bidimensionnelles irrégulières en les décomposant en formes régulières, vous pouvez faire de même pour calculer le volume de solides irréguliers. Divisez simplement le solide en parties plus petites jusqu'à ce que vous n'atteigniez que des solides avec lesquels vous pouvez travailler facilement.


Exemple travaillé

Calculez le volume d'un cylindre d'eau d'une hauteur totale de 1 m, d'un diamètre de 40 cm et dont la partie supérieure est semi-sphérique.
Solide irrégulier. Socle circulaire d

Vous divisez d'abord la forme en deux sections, un cylindre et une demi-sphère (une demi-sphère).

Le volume d'une sphère est de 4/3 × π × rayon3. Dans cet exemple, le rayon est de 20 cm (la moitié du diamètre). Parce que le sommet est semi-sphérique, son volume sera la moitié de celui d'une sphère pleine. Le volume de cette section de la forme donc:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16,755,16cm3

Le volume d'un cylindre est l'aire de la base × hauteur. Ici, la hauteur du cylindre est la hauteur totale moins le rayon de la sphère, soit 1m - 20cm = 80cm. L'aire de la base est πrdeux.

Le volume de la section cylindrique de cette forme est donc:

80 × π × 20 × 20 = 100,530,96 cm3

Le volume total de ce réservoir d'eau est donc:
100 530,96 + 16 755,16 = 117 286,12 cm3.

C'est un nombre assez grand, vous préférerez peut-être le convertir en 117,19 litres en divisant par 1000 (car il y a 1000 cm3dans un litre). Cependant, il est tout à fait correct de l'exprimer en cm3puisque le problème ne demande pas que la réponse soit exprimée sous une forme particulière.



En conclusion…

En utilisant ces principes, si nécessaire, vous devriez maintenant être en mesure de calculer le volume de presque tout dans votre vie, qu’il s’agisse d’une caisse d’emballage, d’une pièce ou d’une bouteille d’eau.

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