Calcul de la surface

Voir également: Propriétés des polygones

L'aire est une mesure de l'espace qu'il y a à l'intérieur d'une forme. Le calcul de la surface d'une forme ou d'une surface peut être utile dans la vie de tous les jours - par exemple, vous devrez peut-être savoir combien de peinture acheter pour couvrir un mur ou combien de graines de gazon vous avez besoin pour semer une pelouse.

Cette page couvre les éléments essentiels que vous devez connaître pour comprendre et calculer les aires de formes courantes, y compris les carrés et les rectangles, les triangles et les cercles.

Calcul de la surface à l'aide de la méthode de la grille

Lorsqu'une forme est dessinée sur une grille mise à l'échelle, vous pouvez trouver la zone en comptant le nombre de carrés de la grille à l'intérieur de la forme.



Grille numérotée pour aider à calculer l

Dans cet exemple, il y a 10 carrés de grille à l'intérieur du rectangle.


Afin de trouver une valeur de surface à l'aide de la méthode de la grille, nous devons connaître la taille que représente un carré de la grille.

Cet exemple utilise des centimètres, mais la même méthode s'applique pour toute unité de longueur ou de distance. Vous pouvez, par exemple, utiliser des pouces, des mètres, des miles, des pieds, etc.

Utilisation d



Dans cet exemple, chaque carré de grille a une largeur de 1 cm et une hauteur de 1 cm. En d'autres termes, chaque carré de la grille est un «centimètre carré».

Comptez les carrés de la grille à l'intérieur du grand carré pour trouver sa superficie.

Il y a 16 petits carrés, donc la superficie du grand carré est de 16 centimètres carrés.



En mathématiques, nous abrégons `` centimètres carrés '' en cmdeux. Ledeuxsignifie «carré».

Chaque carré de la grille mesure 1 cmdeux.

La superficie du grand carré est de 16 cmdeux.


Compter les carrés sur une grille pour trouver la zone fonctionne pour toutes les formes, à condition que les tailles de la grille soient connues. Cependant, cette méthode devient plus difficile lorsque les formes ne correspondent pas exactement à la grille ou lorsque vous devez compter des fractions de carrés de la grille.

Grille carrée de 1 cm pour aider à calculer la surface d

Dans cet exemple, le carré ne correspond pas exactement à la grille.



Nous pouvons toujours calculer la surface en comptant les carrés de la grille.

  • Il y a 25 carrés de grille complets (ombrés en bleu).
  • 10 demi-carrés (ombrés en jaune) - 10 demi-carrés équivaut à 5 carrés complets.
  • Il y a aussi 1 quart de carré (ombré en vert) - (¼ ou 0,25 d'un carré entier).
  • Additionnez les carrés entiers et les fractions ensemble: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

La superficie de ce carré est donc de 30,25 cmdeux.

Vous pouvez également écrire ceci en 30¼cmdeux.


Bien que l'utilisation d'une grille et le comptage des carrés dans une forme soit un moyen très simple d'apprendre les concepts de surface, il est moins utile pour trouver des zones exactes avec des formes plus complexes, lorsqu'il peut y avoir de nombreuses fractions de carrés de la grille à additionner.

le mode est-il un type de moyenne

La surface peut être calculée à l'aide de formules simples, en fonction du type de forme avec laquelle vous travaillez.

Le reste de cette page explique et donne des exemples sur la façon de calculer l'aire d'une forme sans utiliser le système de grille.


Zones de quadrilatères simples:
Carrés et rectangles et parallélogrammes

Les calculs de surface les plus simples (et les plus couramment utilisés) concernent les carrés et les rectangles.

Pour trouver l'aire d'un rectangle, multipliez sa hauteur par sa largeur.

Pour un carré, il vous suffit de trouver la longueur de l'un des côtés (car chaque côté a la même longueur), puis de multiplier cela par lui-même pour trouver la zone. C'est la même chose que de dire longueurdeuxou longueur au carré.



Il est recommandé de vérifier qu'une forme est bien un carré en mesurant deux côtés. Par exemple, le mur d'une pièce peut ressembler à un carré, mais lorsque vous le mesurez, vous constatez qu'il s'agit en fait d'un rectangle.

Diagramme montrant comment calculer l

Souvent, dans la vraie vie, les formes peuvent être plus complexes. Par exemple, imaginez que vous vouliez trouver la surface d'un sol, afin de pouvoir commander la bonne quantité de tapis.

Un plan d'étage typique d'une pièce ne peut pas consister en un simple rectangle ou un carré:

Diagramme pour montrer comment calculer la superficie d

Dans cet exemple, et d'autres exemples similaires, l'astuce consiste à diviser la forme en plusieurs rectangles (ou carrés). Peu importe la façon dont vous divisez la forme - l'une des trois solutions aboutira à la même réponse.

Les solutions 1 et 2 nécessitent que vous fassiez deux formes et que vous ajoutiez leurs surfaces pour trouver la surface totale.

Pour la solution 3, vous créez une forme plus grande (A) et en soustrayez la forme plus petite (B) pour trouver la zone.


Un autre problème courant est de trouver la zone d'une bordure - une forme dans une autre forme.

Cet exemple montre un chemin autour d'un champ - le chemin fait 2 m de large.

Encore une fois, il existe plusieurs façons de déterminer la zone du chemin dans cet exemple.

Vous pouvez afficher le chemin sous forme de quatre rectangles séparés, calculer leurs dimensions puis leur surface et enfin additionner les zones ensemble pour donner un total.

Un moyen plus rapide serait de déterminer la zone de la forme entière et la zone du rectangle interne. Soustrayez la zone du rectangle interne de l'ensemble en laissant la zone du chemin.

Schéma montrant comment calculer la surface de la bordure d
  • La superficie de la forme entière est de 16 m × 10 m = 160 mdeux.
  • Nous pouvons calculer les dimensions de la section médiane car nous savons que le chemin autour du bord mesure 2 m de large.
  • La largeur de la forme entière est de 16 m et la largeur du chemin sur toute la forme est de 4 m (2 m à gauche de la forme et 2 m à droite). 16 m à 4 m = 12 m
  • On peut faire de même pour la hauteur: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Nous avons donc calculé que le rectangle du milieu est de 12 m × 6 m.
  • L'aire du rectangle du milieu est donc: 12m × 6m = 72mdeux.
  • Enfin, nous éloignons la zone du rectangle du milieu de la zone de la forme entière. 160 à 72 = 88 mdeux.

La superficie du chemin est de 88mdeux.


À parallélogramme est une forme à quatre côtés avec deux paires de côtés de longueur égale - par définition, un rectangle est un type de parallélogramme. Cependant, la plupart des gens ont tendance à considérer les parallélogrammes comme des formes à quatre côtés avec des lignes inclinées, comme illustré ici.

Calcul de l

L'aire d'un parallélogramme est calculée de la même manière que pour un rectangle (hauteur × largeur) mais il est important de comprendre que la hauteur ne signifie pas la longueur des côtés verticaux (ou non verticaux) mais la distance entre les côtés.

À partir du diagramme, vous pouvez voir que la hauteur est la distance entre les côtés supérieur et inférieur de la forme - et non la longueur du côté.

Pensez à une ligne imaginaire, à angle droit, entre les côtés supérieur et inférieur. C'est la hauteur.


Zones de triangles

Il peut être utile de considérer un triangle comme la moitié d'un carré ou d'un parallélogramme.

Un triangle est la moitié d

En supposant que vous connaissez (ou pouvez mesurer) les dimensions d'un triangle, vous pouvez rapidement déterminer sa surface.

L'aire d'un triangle est (hauteur × largeur) ÷ 2.

En d'autres termes, vous pouvez calculer l'aire d'un triangle de la même manière que l'aire d'un carré ou d'un parallélogramme, puis divisez simplement votre réponse par 2.

La hauteur d'un triangle est mesurée comme une ligne à angle droit allant de la ligne inférieure (base) au «sommet» (point supérieur) du triangle.

Voici quelques exemples:

Calcul de l

L'aire des trois triangles dans le diagramme ci-dessus est la même.

Chaque triangle a une largeur et une hauteur de 3 cm.

La superficie est calculée:

(hauteur × largeur) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

L'aire de chaque triangle est de 4,5 cmdeux.


Dans des situations réelles, vous pouvez être confronté à un problème qui vous oblige à trouver l'aire d'un triangle, tel que:

Vous voulez peindre le pignon d'une grange. Vous ne voulez visiter le magasin de décoration qu'une seule fois pour obtenir la bonne quantité de peinture. Vous savez qu'un litre de peinture couvrira 10mdeuxde mur. De combien de peinture avez-vous besoin pour recouvrir le pignon?

Extrémité de pignon (triangle)

Vous avez besoin de trois mesures:

A - La hauteur totale jusqu'au sommet du toit.

B - La hauteur des murs verticaux.

C - La largeur du bâtiment.

Dans cet exemple, les mesures sont:

A - 12,4 m

B - 6,6 m

C - 11,6 m

La prochaine étape nécessite des calculs supplémentaires. Considérez le bâtiment comme deux formes, un rectangle et un triangle. À partir des mesures que vous avez, vous pouvez calculer la mesure supplémentaire nécessaire pour déterminer la surface du pignon.

Divisez la forme complexe en formes simples pour calculer la surface

Mesure D = 12,4 - 6,6

D = 5,8 m

Vous pouvez maintenant calculer la surface des deux parties du mur:

Superficie de la partie rectangulaire du mur: 6,6 × 11,6 = 76,56 mdeux

Aire de la partie triangulaire du mur: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 mdeux

Additionnez ces deux zones pour trouver la surface totale:

76,56 + 33,64 = 110,2 mdeux

Comme vous le savez, un litre de peinture couvre 10 mdeuxde mur afin que nous puissions déterminer combien de litres nous devons acheter:

110.2 ÷ 10 = 11.02 litres.

En réalité, vous constaterez peut-être que la peinture n'est vendue que dans des bidons de 5 litres ou 1 litre, le résultat est un peu plus de 11 litres. Vous pourriez être tenté d'arrondir à 11 litres, mais, en supposant que nous ne diluons pas la peinture, ce ne sera pas tout à fait suffisant. Vous arrondirez donc probablement au litre entier suivant et achèterez deux bidons de 5 litres et deux bidons de 1 litre pour un total de 12 litres de peinture. Cela permettra tout gaspillage et laissera la plus grande partie d'un litre pour les retouches à une date ultérieure. Et n'oubliez pas, si vous devez appliquer plus d'une couche de peinture, vous devez multiplier la quantité de peinture pour une couche par le nombre de couches requises!


Zones de cercles

Afin de calculer l'aire d'un cercle, vous devez connaître son diamètre ou rayon .

Diamètre et rayon d

Le diamètre d'un cercle est la longueur d'une ligne droite d'un côté du cercle à l'autre passant par le point central du cercle. Le diamètre est deux fois la longueur du rayon (diamètre = rayon × 2)

Le rayon d'un cercle est la longueur d'une ligne droite entre le point central du cercle et son bord. Le rayon est la moitié du diamètre. (rayon = diamètre ÷ 2)

Vous pouvez mesurer le diamètre ou le rayon en tout point autour du cercle - l'important est de mesurer en utilisant une ligne droite qui passe par (diamètre) ou se termine à (rayon) le centre du cercle.

En pratique, lors de la mesure de cercles, il est souvent plus facile de mesurer le diamètre, puis de le diviser par 2 pour trouver le rayon.

Vous avez besoin du rayon pour calculer l'aire d'un cercle, la formule est:

aire du cercle = & pi; Rdeux.

Ça signifie:

π = Pi est une constante égale à 3,142.

R = est le rayon du cercle.

Rdeux(rayon au carré) signifie rayon × rayon.


Par conséquent, un cercle d'un rayon de 5 cm a une superficie de:

3,142 × 5 × 5 = 78,55 cmdeux.

À cercle d'un diamètre de 3 m a une superficie:

Tout d'abord, nous calculons le rayon (3m ÷ 2 = 1,5m)

Ensuite, appliquez la formule:

& pi; Rdeux

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

L'aire d'un cercle d'un diamètre de 3 m est de 7,0695 mdeux.


Exemple final

Cet exemple s'appuie sur une grande partie du contenu de cette page pour résoudre des problèmes de zone simples.

Calcul de la superficie - Exemple de Bloomington Benjamin House.

C'est le Maison Ruben M. Benjamin à Bloomington, dans l'Illinois, inscrit au registre national des lieux historiques des États-Unis (numéro d'enregistrement: 376599).

Cet exemple consiste à trouver la zone de la façade de la maison, la partie à lattes de bois - à l'exclusion de la porte et des fenêtres. Les mesures dont vous avez besoin sont:

A - 9,7 m B - 7,6 m
C - 8,8 m D - 4,5 m
E - 2,3 m F - 2,7 m
G - 1,2 m H - 1,0 m

Remarques:

  • Toutes les mesures sont approximatives.
  • Il n'y a pas besoin de s'inquiéter de la frontière autour de la maison - cela n'a pas été inclus dans les mesures.
  • Nous supposons que toutes les fenêtres rectangulaires ont la même taille.
  • La mesure de la fenêtre ronde est le diamètre de la fenêtre.
  • La mesure de la porte comprend les marches.

Quelle est la superficie de la partie à lattes de bois de la maison?

Fonctionnement et réponses ci-dessous:



Réponses à l'exemple ci-dessus

Tout d'abord, déterminez l'aire de la forme principale de la maison - c'est-à-dire le rectangle et le triangle qui composent la forme.

Le rectangle principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 mdeux.

La hauteur du triangle est (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

L'aire du triangle est donc (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48 18,48 ÷ 2 = 9,24 mdeux.

La superficie totale combinée de la façade de la maison est la somme des aires du rectangle et du triangle:

66,88 + 9,24 = 76,12 mdeux.

Ensuite, calculez les zones des fenêtres et des portes afin qu'elles puissent être soustraites de la zone complète.

La surface de la porte et des marches est (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 mdeux.

la communication interpersonnelle se produit lorsque l'autre personne est considérée comme

L'aire d'une fenêtre rectangulaire est (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 mdeux.

Il y a cinq fenêtres rectangulaires. Multipliez la surface d'une fenêtre par 5.

3,24 × 5 = 16,2m2. (la superficie totale des fenêtres rectangulaires).

La fenêtre ronde a un diamètre de 1 m, son rayon est donc de 0,5 m.

Utilisation de & pi; Rdeux, calculez l'aire de la fenêtre ronde: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 mdeux.

Additionnez ensuite les zones de la porte et des fenêtres.

(zone de la porte) 10,35 + (zone des fenêtres rectangulaires) 16,2 + (zone de la fenêtre ronde) 0,7855 = 27,3355

Enfin, soustrayez la superficie totale des fenêtres et des portes de la superficie totale.

76,12 - 27,3355 = 48,7845

La superficie de la façade à lattes de bois de la maison, et la réponse au problème est: 48,7845mdeux.

Vous pouvez arrondir la réponse à 48,8 mdeuxou 49mdeux.

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